Угол равный данному определение. Основные задачи на построение

математика геометрия навык урок

Конспект урока «Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла»

обучающая: познакомить учащихся с задачами на построение, при решении которых, используются только циркуль и линейка; научить выполнять построение угла, равного данному, строить биссектрису угла;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Оборудование: таблицы с порядком решения задач на построение; циркуль и линейка.

Ход урока:

1. Актуализация основных теоретических понятий (5 мин).

Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:

• 1. Какая фигура называется треугольником?
• 2. Какие треугольники называются равными?
• 3. Сформулируйте признаки равенства треугольников.
• 4. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
• 5. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

Для повторения признаков равенства треугольников можно предложить.

Задание : укажите на каком из рисунков (рис. 1) есть равные треугольники.

Рис. 1

Повторение понятия окружности и ее элементов можно организовать, предложив классу следующее задание , с выполнением его одним учеником на доске: дана прямая а и точка А, лежащая на прямой и точка В, не лежащая на прямой. Провести окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Отметьте точки пересечения окружности с прямой а. Назовите радиусы окружности.

2. Изучение нового материала (практическая работа) (20 мин)

Построение угла, равного данному

Для рассмотрения нового материала учителю полезно иметь таблицу (таблица №1 приложения 4). Работу с таблицей можно организовать по-разному: она может иллюстрировать рассказ учителя или образец записи решения; можно предложить учащимся, пользуясь таблицей, рассказать о решении задачи, а затем самостоятельно его выполнить в тетрадях. Таблица может быть использована при опросе учащихся и при повторении материала.

Задача. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Рис. 2

Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из сторон совпала с лучом ОМ. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 3, а). Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (Рис. 3, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.

Рассмотрим треугольники АВС и ОDЕ. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а ОD и ОЕ - радиусами окружности с центром О. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ=ОD, АС=ОЕ. Также по построению ВС= DЕ. Следовательно, АВС= ОDЕ по трем сторонам. Поэтому DОЕ=ВАС, т.е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

Рис. 3

Построение биссектрисы данного угла

Задача . Построить биссектрису данного угла.

Решение . Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересечет стороны угла в точках В и С. Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке 4 изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трем сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны, как радиусы одной и той окружности; СЕ=ВЕ по построению. Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что САЕ=ВАЕ, т.е. луч АЕ - биссектриса данного угла.

Рис. 4

Учитель может предложить учащимся по данной таблице (таблица №2 приложения 4) построить биссектрису угла.

Ученик у доски выполняет построение, обосновывая каждый шаг выполняемых действий.

Доказательство показывает учитель, необходимо подробно остановиться на доказательстве того факта, что в результате построения действительно получатся равные углы.

3. Закрепление (10 мин)

Полезно предложить учащимся следующее задание для закрепления пройденного материала:

Задача. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Задача. Построить с помощью циркуля и линейки углы в 30є и 60є.

Задача. Постройте треугольник по стороне, углу, прилежащему к его стороне, и биссектрисе треугольника, исходящей из вершины данного угла.

• 4. Подведение итога (3 мин)
• 1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:
  • а) строить угол, равный данному;
  • б) строить биссектрису угла.
• 2. В ходе решения этих задач:
  • а) вспомнили признаки равенства треугольников;
  • б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.
• 5. На дом (2 мин): №150-152 (см. приложение 1).

Цель урока: Формирование умения строить угол, равный данному. Задача: Создать условия для усвоения алгоритма построения с помощью циркуля и линейки угла, равного данному; создать условия для усвоения последовательности действий при решении задачи на построение (анализ, построение, доказательство); совершенствовать навык использования свойств окружности, признаков равенства треугольников для решения задачи на доказательство; обеспечить возможность применение новых умений при решении задач

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Дано: угол А. А Построили: угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному

Докажем, что луч АВ – биссектриса А 3. Доказательство: Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C). Рассмотрим АСВ и АDB: А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3. АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса 4.Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Схема решения задач на построение: Анализ (рисунок искомой фигуры, установление связей между заданными и искомыми элементами, план построения). Построение по намеченному плану. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. Исследование (когда и сколько задача имеет решений?).

Построение угла, равного данному. Дано: угол А. А Построили угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О

Докажем, что луч АВ – биссектриса А П Л А Н 1.Дополнительное построение. 2.Докажем равенство треугольников АСВ и АDB. 3. Выводы А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3.АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса Построение биссектрисы угла.

A N B A C 1 = 2 12 В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой. Тогда, а МN. М Докажем, что а MN Посмотрим на расположение циркулей. АМ=АN=MB=BN, как равные радиусы. МN-общая сторона. MВN= MAN, по трем сторонам Построение перпендикулярных прямых. М a

Q P ВА АРQ = BPQ, по трем сторонам = 2 Треугольник АРВ р/б. Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой. Тогда, точка О – середина АВ. О Докажем, что О – середина отрезка АВ. Построение середины отрезка

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Угол hk h 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному. 4.Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя I признак. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 а k

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Угол h 1 k 1 h2h2 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному h 1 k 1. 4.Построим угол, равный h 2 k 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя II признак. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N

С 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2. 4.Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак. Дано: отрезки Р 1 Q 1, Р 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 а P2P2 Q3Q3 Построение треугольника по трем сторонам.

Построение угла, равного данному. Дано: полупрямая, угол. Построение. В. А. С. 7. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ1С1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников. Надо: отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу. С1. В1. О. 1. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. 2. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. 3. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. 4. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В1. 5. Опишем окружность с центром В1 и радиусом ВС. 6. Точка С1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Геометрия 7 класс

«Равнобедренный треугольник» - Теорема. Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура. Решение задач. Найдите угол KBA. Равенство треугольников. Отгадайте ребус. ABC -равнобедренный. Перечислите равные элементы треугольников. Классификация треугольников по сторонам. В равнобедренном треугольнике АМК АМ = АК. Классификация треугольников по величине углов. Боковые стороны. Треугольник, все стороны которого равны. Равнобедренный треугольник.

«Измерение отрезков и углов» - Сравнение отрезков. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. Ф3 = ф4. MN > CD. 1м =. Середина отрезка. 1км. На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость 4 различные прямые? Другие единицы измерения. Сравнение фигур с помощью наложения. Сравнение углов. Совместились стороны ВМ и ЕС. На сколько частей могут разбить плоскость 3 различные прямые? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

«Прямоугольный треугольник, его свойства» - Один из углов прямоугольного треугольника. Решение. Какой треугольник называется прямоугольным. Прямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника. Разминка. Развитие логического мышления. Биссектриса. Катет прямоугольного треугольника. Составим уравнение. Внимательно рассмотрим чертеж. Свойство прямоугольного треугольника. Жители трех домов. Треугольник.

«Определение угла» - Понятия углов. Проведите лучи. Подготовительный этап урока. Угол. Объяснение нового материала. Угол разделяет плоскость. Понятия внутренней и внешней областей угла. Заинтересовать предметом. Луч на рисунке делит угол. Определение развёрнутого угла. Развитие логического мышления. Тупой угол. Острый угол. Вступительные слова. Закрасьте внутреннюю область угла. Углы. Луч BM делит угол ABC на два угла.

«Второй и третий признаки равенства треугольников» - Стороны. Медиана в равнобедренном треугольнике. Второй и третий признаки равенства треугольников. Решение. Три стороны одного треугольника. Основание. Доказать. Свойства равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Решение задач. Математический диктант. Углы. Задача. Периметр равнобедренного треугольника.

«Декартова система координат на плоскости» - Плоскость, на которой задана декартова система координат. Координаты в жизни людей. Система географических координат. Декартова система координат на плоскости. Проект по алгебре. Ученые, которые являются авторами координат. Древнегреческий астроном Клавдий. Клетка на игровом поле. Точка пересечения осей. Введение более простых обозначений в алгебру. Место в кинотеатре. Значение декартовой системы координат.