Прямоугольный треугольник. Полный иллюстрированный гид (2019)

Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

• Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
• При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

• При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
• Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
• Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
2. по формуле Герона;
3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

Треугольник в геометрии представляет одну из основных фигур. Из предыдущих уроков вы знаете, что треугольник – это многоугольная фигура, которая имеет три угла и три стороны.

Треугольник называют прямоугольным , если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами ; третья его сторона называется гипотенузой . Гипотенуза является самой большой стороной этого треугольника.

• По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Свойства и особенности прямоугольных треугольников

I – е свойство. В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 90°. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике наибольшим углом, является прямоугольный угол. Если же в треугольнике самый большой угол имеет более 90°, то такой треугольник перестает быть прямоугольным, так как сумма всех углов превысить 180 градусов. Со всего этого следует, что гипотенуза является наибольшей стороной треугольника.

II – е свойство. Катет прямоугольного треугольника, который лежит против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузе.

III – е свойство. Если же в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то и угол, который лежит напротив данного катета будет равен 30 градусам.

Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A , а сторона b - как прилежащая к углу A и противолежащая углу В .

Типы прямоугольных треугольников

• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку .

Свойства

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Тригонометрические соотношения

Пусть h и s (h >s ) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Прямоугольный параллелепипед
• Прямые затраты

Смотреть что такое "Прямоугольный треугольник" в других словарях:

прямоугольный треугольник - — Тематики нефтегазовая промышленность EN right triangle … Справочник технического переводчика

ТРЕУГОЛЬНИК - и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ - ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, прямоугольная, прямоугольное (геом.). Имеющий прямой угол (или прямые углы). Прямоугольный треугольник. Прямоугольные фигуры. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Треугольник - У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка

ТРЕУГОЛЬНИК - ТРЕУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Геометрическая фигура многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. Прямоугольный т. Деревянный т. (для черчения). Солдатский т. (солдатское письмо без конверта, свёрнутое уголком; разг.). 2 … Толковый словарь Ожегова

Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

треугольник Энциклопедический словарь

треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений

Треугольник - а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь

Свойства прямоугольного треугольника

Дорогие семиклассники, вы уже знаете какие геометрические фигуры называются треугольниками, умеете доказывать признаки их равенства. Знаете вы и о частных случаях треугольников: равнобедренных и прямоугольных. Свойства равнобедренных треугольников вам хорошо известны.

Но и у прямоугольных треугольников есть немало свойств. Одно, очевидное, связано с теоремой о сумме внутренних углов треугольника: в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равно 90°. Самое удивительное свойство прямоугольного треугольника вы узнаете в 8 классе , когда изучите знаменитую теорему Пифагора.

А сейчас мы поговорим еще о двух важных свойствах. Одно из них относится к прямоугольным треугольникам с углом 30°, а другое к произвольным прямоугольным треугольникам. Сформулируем и докажем эти свойства.

Вам хорошо известно, что в геометрии принято формулировать утверждения обратные к доказанным, когда условие и заключение в утверждении меняются местами. Далеко не всегда обратные утверждения оказываются верными. В нашем случае оба обратных утверждения верны.

Свойство 1.1 В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐА=90°, ÐВ=30°, тогда ÐС=60°..gif" width="167" height="41">, следовательно , что и требовалось доказать.

Свойство 1.2 (обратное к свойству 1.1) Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.

Свойство 2.1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐВ=90°.

BD-медиана, то есть AD=DC. Докажем, что .

Для доказательства сделаем дополнительное построение: продолжим BD за точку D так, чтоBD=DN и соединим N с A и C..gif" width="616" height="372 src=">

Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см

1. ÐEBC=30o, т. к. в прямоугольном ∆BCE сумма острых углов 90о

2. BE=14см(свойство 1)

3. ÐABE=30o, так как ÐA+ÐABE=ÐBEC (свойство внешнего угла треугольника) поэтому ∆AEB- равнобедренный AE=EB=14см.

3. (свойство 1).

BC=2AN=20 см (свойство 2).

Задача 3. Доказать, что высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника.

Дано: ∆ АВС, ÐВАС=90°, АМ-медиана, АН-высота.

Доказать: ÐМАН=ÐС-ÐВ.

Доказательство:

1)ÐМАС=ÐС (по свойству 2 ∆ АМС-равнобедренный, АМ=СМ)

2)ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.

Остается доказать, что ÐНАС=ÐВ. Это следует из того, что ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) и ÐНАС+ÐС=90° (из ∆ АНС).

Итак, ÐМАН=ÐС-ÐВ, что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-высота, .

Найти: ÐВ, ÐС.

Решение: Проведем медиану АМ. Пусть АН=х, тогда ВС=4х и

ВМ=МС=АМ=2х.

В прямоугольном ∆ АМН, гипотенуза АМ в 2 раза больше катета АН, поэтому ÐАМН=30°. Так как ВМ=АМ,

ÐВ=ÐВАМ100%">

Док-во: Пусть в ∆ABC ÐA=900 и AC=1/2BC

Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким образом ∆DBC-равносторонний, ÐС=60о и ÐАВС=30о.

Задача 5

В равнобедренном треугольнике один из углов 120о, основание равно 10 см. Найти высоту, проведенную к боковой стороне.

Решение: для начала отметим, что угол 120о может быть только при вершине треугольника и что высота проведенная к боковой стороне попадет на её продолжение.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">К вертикальной стене прислонили лестницу. На середине лестницы сидит котенок. Вдруг лестница начала скользить вниз по стене. Какую траекторию будет описывать котенок?

АВ - лестница, К - котенок.

При любом положении лестницы, пока она окончательно не упала на землю ∆АВС- прямоугольный. СК - медиана ∆АВС.

По свойству 2 СК=1/2АВ. То есть в любой момент времени длина отрезка СК постоянна.

Ответ: точка К будет двигаться по дуге окружности с центром С и радиусом СК=1/2АВ.

Задачи для самостоятельного решения.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4см. найти длину гипотенузы. В прямоугольном ∆ АВС с гипотенузой ВС и углом В, равным 60о, проведена высота АD. Найти DC, если DB=2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - высот, ВС=2ВD. Докажите, что АD=3ВD. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части 3см и 9см. Найти углы треугольника и расстояние от середины гипотенузы до большего катета. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы исходного треугольника. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных. Можно ли найти углы

Исходного треугольника?

Решение геометрических задач требует огромного количества знаний. Одним из основополагающих определений этой науки является прямоугольный треугольник.

Под этим понятием подразумевается состоящая из трех углов и

сторон, причем величина одного из углов составляет 90 градусов. Стороны, составляющие прямой угол, носят названия катеты, третья же сторона, которая противолежит ему, носит название гипотенузы.

Если катеты в такой фигуре равны, она называется равнобедренный прямоугольный треугольник. В этом случае имеет место принадлежность к двум а значит, соблюдаются свойства обеих групп. Вспомним, что углы у основания равнобедренного треугольника абсолютно всегда равны, следовательно острые углы такой фигуры будут включать по 45 градусов.

Наличие одного из следующих свойств позволяет утверждать, что один прямоугольный треугольник равен другому:

1. катеты двух треугольников равны;
2. фигуры имеют одинаковые гипотенузу и один из катетов;
3. равны гипотенуза и любой из острых углов;
4. соблюдается условие равенства катета и острого угла.

Площадь прямоугольного треугольника с легкостью вычисляется как при помощи стандартных формул, так и как величина, равная половине произведения его катетов.

В прямоугольном треугольнике соблюдаются следующие соотношения:

1. катет есть не что иное, как среднее пропорциональное гипотенузы и его проекции на нее;
2. если описать около прямоугольного треугольника окружность, ее центр будет находиться в середине гипотенузы;
3. высота, проведенная из прямого угла, представляет собой среднее пропорциональное с проекциями катетов треугольника на его гипотенузу.

Интересным является то, что каким бы ни был прямоугольный треугольник, свойства эти всегда соблюдаются.

Теорема Пифагора

Помимо вышеназванных свойств для прямоугольных треугольников характерно соблюдение следующего условия:

Теорема эта носит название по имени ее основателя - теорема Пифагора. Он открыл это соотношение, когда занимался изучением свойств квадратов, построенных на

Для доказательства теоремы построим треугольник АВС, катеты у которого обозначим a и b, а гипотенузу с. Далее построим два квадрата. У одного стороной будет являться гипотенуза, у другого сумма двух катетов.

Тогда площадь первого квадрата можно будет найти двумя способами: как сумму площадей четырех треугольников АВС и второго квадрата, либо как квадрат стороны, естественно, что соотношения эти будут равны. То есть:

с 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , преобразуем получившееся выражение:

с 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

В итоге получаем: с 2 = a 2 + b 2

Таким образом, геометрическая фигура прямоугольный треугольник соответствует не только всем свойствам, характерным для треугольников. Наличие прямого угла ведет к тому, что фигура обладает другими уникальными соотношениями. Их изучение пригодится не только в науке, но и в повседневной жизни, так как такая фигура, как прямоугольный треугольник, встречается повсеместно.