Вычисление функций с помощью рядов. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

22.09.2019

1. Приближенное вычисление значений функций

Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x ). Для этого применяют следующие приемы:

Пример 1 . Пользуясь разложением в ряд sinx , вычислить sin20 o с точностью до 0,0001.

Решение . Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем
. Подставляя это значение в формулу, получаем

Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как
, то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,

Пример 2 . Вычислить
с точностью до 0,01.

Решение . Воспользуемся разложением
, где(см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример 3 . Вычислить
с точностью до 0,0001.

Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:

, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример 4 : Вычислить интеграл
с точностью до 0,00001.

Решение . Соответствующий неопределенный интеграл
не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.

Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим

Пример 5 . Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.

Следовательно,
.

На примере полученных нами конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей приближенных вычислений. Предпошлем ряд общих замечаний.

Если неизвестное нам число А разложено в ряд:

где - легко вычисляемые (обыкновенно рациональные) числа, и мы положим приближенно:

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

При достаточно большом и эта погрешность станет сколь угодно малой, так что воспроизведет А с любой наперед заданной точностью.

Мы заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с монотонно убывающими по абсолютной величине членами («цейбницевского типа»), то, как мы видели , остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего.

Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда.

Тогда обыкновенно стараются найти легко суммируемый положительный же ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка, и оценивают остаток суммой этого ряда.

Например, для ряда - можно получить:

[эта оценка совпадает с оценкой сверху, полученной в 373 (11) с помощью интегрирования], а для ряда

[этой оценкой мы фактически и пользовались при вычислении числа в 37].

Обыкновенно ищется десятичное приближение числа А, в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь, округление их служит источником новой погрешности, которую также следует учесть.

Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число А, пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты, и оценка остатка производится легко). Вопрос - в быстроте сходимости, т. е. в быстроте приближения частичной суммы к числу А.

Возьмем для примера ряды [см. 404 (16) и 405 (18)]:

дающие соответственно разложение чисел - и Для того чтобы с их помощью вычислить эти числа, скажем, с точностью до нужно было бы сложить пятьдесят тысяч членов в первом случае и сто тысяч - во втором; это, конечно, осуществимо лишь с помощью быстродействующих вычислительных машин.

Ниже мы без особого труда вычислим упомянутые числа даже с большей точностью, но использовав более подходящие рады.

Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена и Лорана на сайт для тренировки практических навыков. Это разложение функции в ряд дает представление математикам оценить приближенное значение функции в некоторой точки области ее определения. Намного проще вычислить такое значение функции, по сравнению с применением таблицы Бредиса, так неактуальной в век вычислительной техники. В ряд Тейлора разложить функцию означает вычислить коэффициенты перед линейными функциями этого ряда и записать это в правильном виде. Путают студенты эти два ряда, не понимая, что является общим случаем, а что частным случаем второго. Напоминаем раз и навсегда, ряд Маклорена - частный случай Тейлоровского ряда, то есть это и есть ряд Тейлора, но в точке x = 0. Все краткие записи разложения известных функций, таких как e^x, Sin(x), Cos(x) и другие, это и есть разложения в ряд Тейлора, но в точке 0 для аргумента. Для функций комплексного аргумента ряд Лорана является наиболее частой задачей в ТФКП, так как представляет двусторонний бесконечный ряд. Он и является суммой двух рядов. Мы предлагаем вам посмотреть пример разложения прямо на сайте сайт, это сделать очень просто, нажав на "Пример" с любым номером, а затем кнопку "Решение". Именно такому разложению функции в ряд сопоставлен мажорирующий ряд, ограничивающий функцию исходную в некоторой области по оси ординат, если переменная принадлежит области абсцисс. Векторному анализу поставляется в сравнение другая интересная дисциплина в математике. Поскольку исследовать нужно каждое слагаемое, то необходимо достаточно много времени на процесс. Всякому ряду Тейлора можно сопоставить ряд Маклорена, заменив x0 на нуль, а вот по ряду Маклорена порой не очевидно представление ряда Тейлора обратно. Как бы это и не требуется делать в чистом виде, но интересно для общего саморазвития. Всякому ряду Лорана соответствует двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням z-a, другими словами ряд вида того же Тейлора, но немного отличающегося вычислением коэффициентов. Про область сходимости ряда Лорана расскажем чуть позже, после нескольких теоретических выкладок. Как и в прошлом веке, поэтапного разложения функции в ряд вряд ли можно достичь только лишь приведением слагаемых к общему знаменателю, так как функции в знаменателях нелинейные. Приближенное вычисление функционального значения требует постановка задач. Задумайтесь над тем, что когда аргумент ряда Тейлора есть линейная переменная, то разложение происходит в несколько действий, но совсем другая картина, когда в качестве аргумента раскладываемой функции выступает сложная или нелинейная функция, тогда очевиден процесс представления такой функции в степенной ряд, поскольку, таким образом, легко вычислить, пусть и приближенное, но значение в любой точке области определения, с минимальной погрешностью, мало влияющей на дальнейшие расчеты. Это касается и ряда Маклорена. когда необходимо вычислить функция в нулевой точке. Однако сам ряд Лорана здесь представлен разложением на плоскости с мнимыми единицами. Также не без успеха будет правильное решение задачи в ходе общего процесса. В математике такого подхода не знают, но он объективно существует. В результате вы можете прийти к выводу так называемых поточечных подмножеств, и в разложении функции в ряд нужно применять известные для этого процесса методы, таких как применение теории производных. Лишний раз убеждаемся в правоте учителя, который сделал свои предположения на счет итогов пост вычислительных выкладок. Давайте отметим, что ряд Тейлора, полученный по всем канонам математики, существует и определен на всей числовой оси, однако, уважаемые пользователи сервиса сайт, не забывайте вид исходной функции, ведь может получиться так, что изначально необходимо установит область определения функции, то есть выписать и исключить из дальнейших рассмотрений те точки, при которых функция не определена в области действительных чисел. Так сказать это покажет вашу расторопность при решении задачи. Не исключением высказанного будет и построение ряда Маклорена с нулевым значением аргумента. Процесс нахождения области определения функции никто при этом не отменял, и вы обязаны подойти со всей серьезностью к этому математическому действию. В случае содержания рядом Лорана главной части, параметр "a" будет называться изолированной особой точкой, и ряд Лорана будет разложен в кольце - это пересечение областей сходимости его частей, отсюда будет следовать соответствующая теорема. Но не все так сложно как может показаться на первый взгляд неопытному студенту. Изучив как раз ряд Тейлора, можно с легкостью понять ряд Лорана - обобщенный случай на расширение пространства чисел. Любое разложение функции в ряд можно производить только в точке области определения функции. Следует учитывать свойства таких функций, например, как периодичность или бесконечная дифференцируемость. Также предлагаем вам воспользоваться таблицей готовых разложений в ряд Тейлора элементарных функций, поскольку одна функция может быть представлена до десятков отличных от друг друга степенных рядов, что можно видеть из применения нашего калькулятора онлайн. Онлайн ряд Маклорена проще простого определить, если воспользоваться уникальным сервисом сайт, вам достаточно только ввести правильную записанную функцию и представленный ответ получите в считанные секунды, он будет гарантированно точным и в стандартно записанном виде. Можете переписать результат сразу в чистовик на сдачу преподавателю. Правильно бы сначала определить аналитичность рассматриваемой функции в кольцах, а затем однозначно утверждать, что она разложима в ряд Лорана во всех таких кольцах. Важен момент чтобы не упустить из вида содержащие отрицательных степеней членов ряда Лорана. На этом сосредоточьтесь как можно сильнее. Применяйте с пользой теорему Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням.

Приближенное вычисление значений функций

Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x ). Для этого применяют следующие приемы:

- если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .

Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

В общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: (или x).

Пример 1 . Пользуясь разложением в ряд sinx , вычислить sin20 o с точностью до 0,0001.

Решение . Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем . Подставляя это значение в формулу, получаем

Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как , то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,

Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.

Решение . Воспользуемся разложением , где (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

.

Пример 3 . Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:

, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример 4 : Вычислить интеграл с точностью до 0,00001.

Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.

Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим

.

Пример 5 . Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.

Следовательно, .

Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного

Дифференциального уравнения

В частых случаях, когда ОДУ не решается в общем виде, решить задачу Коши для него можно приближенно, в виде первых нескольких членов разложения решения в ряд Тейлора (в окрестности данной точки)

Пример Найти первые 3 члена разложения в ряд решения задачи Коши

Решение : Будем искать решение задачи в виде

Коэффициент у (1)=2 – это начальное условие задачи Коши.

Коэффициент найдем из уравнения, подставив в него начальные условия:

Продифференцируем обе части данного уравнения, чтобы найти :

Таким образом,

Решить : Вычислить приближенно с указанной точностью:

A 1) до 0,0001 2) до 0,0001 3) до 0,01 4) ln6 до 0,01

5) до 0,001 6) до 0,001 7) до 0,01

8) до 0,001 9) до 0,001 10) до 0,001

11) до 0,001 12) до 0,01 13) до 0,001

14) до 0,001 15) до 0,001 16) до 0,001

B Найти первые несколько членов разложения в ряд решения задачи Коши:

17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 члена) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 члена)

19) y¢¢=e y cosy¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 членов)

20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 членов)

Ряд Фурье

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-p;p)

, где

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-l ;l ) называется тригонометрический ряд вида:

, где

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S (x ):

Является периодической функцией с периодом 2l

На интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва

В точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале(-l ;l ): .

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.

Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:

, где .

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:

, где .

Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.

Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.

Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Примеры .

1. Разложить функцию f (x )=1:

а) в полный ряд Фурье на интервале (-p;p);

б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;p); построить график полученного ряда Фурье

Решение :

а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-p;p) имеет вид:

,

причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять

а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0

В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.

В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.

б) Разложение на интервале (0;p) по синусам кратных дуг имеет вид:

Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -

Окончательно, .

Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).

Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Лекция 57
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е.
, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степеннойряд Тейлора
,
если в этом интервале выполняется условие
, где
- остаточный член формулы Тейлора,.
При
получаем так называемыйряд Маклорена :.
Если в некотором интервале, содержащем точку , при любомвыполняется неравенство
, где
- положительная постоянная, то
и функция
разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:
1)
2)
7)
8) биномиальный ряд:
Это последнее разложение применимо в следующих случаях:
при
если
при
если
при
если
.
В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.
1.Разложить по степеням разности
функцию
.
Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой Тейлора при
, найдем:
и т.д.
Следовательно,
2.Разложить
в ряд по степеням
.
Решение. Воспользуемся равенством
. Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
и знаменателем
. Отсюда получаем
Так как
, то
3. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:
Поскольку

то
Так как ряд
сходится при
, а ряд
сходится при
, то ряд
сходится к данной функции при
.
4.Разложить в степенной ряд функцию
.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при
Так как
, то при фиксированномимеет место неравенство
при любом. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:
.
В данном случае
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменитьна
.
5. Разложить в степенной ряд функцию

.
Решение. В разложении
заменяем на
, получаем
6. Разложить
в ряд по степеням
.
Решение. В разложении
заменяем на
, получаем
7. Разложить в степенной ряд функцию
.
Решение. Заметим, что
.Рассмотрим ряд
Данный ряд сходится при
, значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке
. Следовательно,
, т.е получили ряд, сходящийся к данной функции при
8. Разложить по степеням
многочлен
9. Разложить по степеням
функцию
и найти область сходимости полученного ряда.
Ответ:
10. Разложить по степеням
функцию
и найти область сходимости этого ряда.
11. Разложить по степеням
функцию
. Найти область сходимости этого ряда.
Ответ
Разложить в ряд Маклорена функцию
. Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.
12.
. Ответ:
13.
Ответ:
.
14.
. Ответ:
.
15.
. Ответ:
16.
Ответ:
.
17.
. Ответ:
.
18.
Ответ:
19.
.Ответ:
.
6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях
Вычисление значений функции . Пусть дан степенной ряд функции
. Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена
формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка
, где
- первый из отброшенных членов ряда.
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001 значение ln1,1.
Решение.
Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Возьмём ряд для функции ln(1+x):

Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.
Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда
.
Точность: 0,001.
В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.
Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.
1.Оценить погрешность приближенного равенства
Решение. Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после
в разложении:
,
Заменив каждый из сомножителей
,… меньшей величиной
, получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:
, т.е.
2.Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Используя разложение в ряд, получаем
Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем
, тогда:
т.е.
.
Путем подбора определим, при каком значении будет выполняться неравенство
. Пусть
, тогда
, т.е.
. Пусть
, тогда
, т.е.
. Принимаем
..
Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем
.
3. Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Имеем
Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что
, поэтому первый из отброшенных членов равен
и
. Вычисляем сумму и получаем
.
4. Пользуясь разложением
в ряд, вычислить
с точностью до 0,0001 .
Решение. .
Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

5. Вычислить
с точностью до 0,0001.

в ряд, полагая
. Имеем
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак
6. Вычислить
с точностью до 0,001.
Решение. Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых:
. Тогда
Четвертый член меньше
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,, т.е.
.
7. Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением
в ряд:
или , откуда
Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.
8.
. Ответ: 3,017.
9.
Ответ: 0,340.
10.
. Ответ: 0,84147.
11.
. Ответ: 1,3956.
12.
,
. Ответ: 1,140.
13.
Ответ: 0,302.
14.
Ответ: 0,464.
15.
Ответ: 1,0986.
16.
,
Ответ: 0,999.
17.
Ответ: 0,3679.
Вычисление интегралов . Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
18. Вычислить
с точностью
Решение. Воспользуемся разложением . Заменив в немна, получим ряд.
Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,
поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше
19. Найти интеграл
в виде степенного ряда и указать область его сходимости.
Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции
Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.
Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до
.
20.
. Ответ: 0,070.
21.
. Ответ: 0,223.
22.
. Ответ: 0,162.
23.
. Ответ: 0,480.
24.
. Ответ: 0,054.
25.
. Ответ: 0,484.
26.
. Ответ: 0,487.
27.
. Ответ: 0,156.
28.
. Ответ: 0,059.
29.
Ответ: 0,103.
Приближенное решение дифференциальных уравнений .
В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
, используется ряд Тейлора
, где, а остальные производные
находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.
Решение задачи Коши
для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд
с неопределенными коэффициентами
.
30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения
, если
.
Решение. Из данного уравнения находим, что
. Дифференцируем исходное уравнение:
и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем