Тема: Целое уравнение и его корни. Решение целых уравнений

Тема урока: «Целое уравнение и его корни».

Цели:

образовательные:

• рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители;

развивающие:

воспитательные:

Класс: 9

Учебник: Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010

Оборудование: компьютер с проектором, презентация «Целые уравнения»

Ход урока:

Организационный момент.

Просмотр видеоролика «Всё в твоих руках».

Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках:" и пусть эти слова будут девизом нашего урока.

Устная работа.

2х + 6 =10, 14х = 7, х 2 – 16 = 0, х – 3 = 5 + 2х, х 2 = 0,

Сообщение темы урока, цели.

Сегодня мы познакомимся с новым видом уравнений – это целые уравнения. Научимся их решать.

Запишем в тетради число, классная работа и тему урока: «Целое уравнение, его корни».

2.Актуализация опорных знаний.

Решите уравнение:

Ответы: а)х = 0; б) х =5/3; в) х = -, ; г) х = 1/6; - 1/6; д) корней нет; е) х = 0; 5; - 5; ж) 0; 1; -2; з)0; 1; - 1; и) 0,2; - 0,2; к) -3; 3.

3.Формирование новых понятий.

Беседа с учениками:

Что такое уравнение? (равенство, содержащее неизвестное число)

Какие виды уравнений вы знаете? (линейные, квадратные)

3.Сколько корней может иметь линейное уравнение?) (один, множество и ни одного корня)

4.Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Отчего зависит количество корней? (от дискриминанта)

В каком случае квадратное уравнение имеет 2 корня?(Д0)

В каком случае квадратное уравнение имеет 1 корень? (Д=0)

В каком случае квадратное уравнение не имеет корней? (Д0)

Целое уравнение – это уравнение левая и правая часть, которого является целым выражением. (читают вслух).

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений, мы видим, что количество корней не больше его степени.

Как вы думаете, можно ли не решая уравнения, определить количество его корней? (возможные ответы детей)

Познакомимся с правилом определения степени целого уравнения?

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида.

Уравнение n ой степени имеет не более n корней.

Целое уравнение можно решить несколькими способами:

способы решения целых уравнений

разложение на множители графический введение новой

переменной

(Записывают схему в тетрадь)

Сегодня мы рассмотрим один из них: разложение на множители на примере следующего уравнения:х 3 – 8х 2 –х +8 = 0.(на доске объясняет учитель, ученики записывают в тетрадь решение уравнения)

Как называется способ разложения на множители, с помощью которого можно левую часть уравнения разложить на множители? (способ группировки). Разложим левую часть уравнения на множители, а для этого сгруппируем слагаемые, стоящие в левой части уравнения.

Когда произведение множителей равно нулю? (когда хотя бы один из множителей равен нулю). Приравняем к нулю каждый множитель уравнения.

Решим полученные уравнения

Сколько корней мы получили? (запись в тетради)

х 2 (х – 8) – (х – 8) = 0

(х – 8) (х 2 – 1) = 0

(х – 8)(х – 1)(х + 1) = 0

х 1 = 8, х 2 = 1, х 3 = - 1.

Ответ: 8; 1; -1.

4.Формирование умений и навыков. Практическая часть.

работа по учебнику №265(запись в тетради)

Какова степень уравнения и сколько корней имеет каждое из уравнений:

Ответы: а) 5, б) 6, в) 5, г) 2, д) 1, е) 1

№ 266(а) (решение у доски с объяснением)

Решите уравнение:

5.Итог урока:

Закрепление теоретического материала:

Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.

Как найти степень целого уравнения? Сколько корней имеет уравнение с одной переменной первой, второй степени, n –ой степени?

6.Рефлексия

Дайте оценку своей работе. Поднимите руку, кто…

1) понял тему на отлично

2) понял тему на хорошо

пока испытываю трудности

7.Домашнее задание:

п.12(с.75-77 пример 1)№267(а, б).

«лист контроля ученика»

Лист контроля ученика

Этапы работы Оценка						Итого
Устный счёт	Решите уравнение		Решение квадратных уравнений	Решение кубических уравнений

Лист контроля ученика

Класс______ Фамилия Имя ___________________

Этапы работы Оценка						Итого
Устный счёт	Решите уравнение	Какова степень знакомых уравнений	Решение квадратных уравнений	Решение кубических уравнений

Лист контроля ученика

Класс______ Фамилия Имя ___________________

Этапы работы Оценка						Итого
Устный счёт	Решите уравнение	Какова степень знакомых уравнений	Решение квадратных уравнений	Решение кубических уравнений

Просмотр содержимого документа
«раздаточный материал»

1.Решите уравнения:

а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0

а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03
д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10

3. Решите уравнения:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Решите уравнения:

I вариант II вариант III вариант

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

«тест »

Здравствуйте! Сейчас Вам будет предложен тест по математике из 4 вопросов. Нажимайте на кнопки на экране под вопросами, в которых, по Вашему мнению, записан верный ответ. Нажмите кнопку «далее», чтобы начать тестирование. Желаю удачи!

1. Решите уравнение:

3х + 6 = 0

Правильного

ответа нет

Корней

Правильного

ответа нет

Корней

4. Решите уравнение: 0 х = - 4

Корней

Много

корней

Просмотр содержимого презентации
«1»

• Решите уравнение:

• УСТНАЯ РАБОТА

Цели:

образовательные:

• обобщить и углубить сведения об уравнениях; ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней; рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители.
• обобщить и углубить сведения об уравнениях;
• ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней;
• рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители.

развивающие:

• развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;
• развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;

воспитательные:

• воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.
• воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.

• Психологическая установка

• Продолжаем обобщать и углублять сведения об уравнениях;
• знакомимся с понятием целого уравнения,

с понятием степени уравнения;

• формируем навыки решения уравнений;
• контролируем уровень усвоения материала;
• На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться.
• Каждый учащийся сам себе дает установку.

• Какие уравнения называются целыми?
• Что называется степенью уравнения?
• Сколько корней имеет уравнение n-й степени?
• Методы решения уравнений первой, второй и третьей степеней.

• План урока

а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0 в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0 г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03 д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10

Решите уравнения:

Например:

X²=x³-2(x-1)

• Уравнения

Если уравнение с одной переменной

записано в виде

P(x) = 0, где P(x)- многочлен стандартного вида,

то степень этого многочлена называют

степенью данного уравнения

2x³+2x-1=0 (5-я степень)

14x²-3=0 (4-я степень)

Например:

Какова степень знакомых нам уравнений?

• а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
• б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
• в) x 2 – 5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
• г) x 2 = 1/36 и) x 2 – 0,01 = 0,03
• д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10

• Решите уравнения:

• 2 ∙х + 5 =15
• 0∙х = 7

Сколько корней может иметь уравнение I степени?

Не более одного!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 нет корней x=6. Сколько корней может иметь уравнение I I степени (квадратное) ? Не более двух!" width="640"

• Решите уравнения:

• x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
• D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 нет корней x=6.

Сколько корней может иметь уравнение I I степени (квадратное) ?

Не более двух!

Решите уравнения:

• I вариант II вариант III вариант

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

• x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 корень 3 корня 2 корня

• Сколько корней может иметь уравнение I I I степени?

Не более трех!

• Как вы думаете сколько корней может иметь уравнение

IV, V , VI, VII, n -й степени?

• Не более четырёх, пяти, шести, семи корней!

Вообще не более n корней!

ax²+bx+c=0

Квадратное уравнение

ax + b = 0

Линейное уравнение

Нет корней

Нет корней

Один корень

Разложим левую часть уравнения

на множители:

x²(x-8)-(x-8)=0

Ответ:=1, =-1.

• Уравнение третьей степени вида: ax³+bx²+cx+d=0

Путем разложения на множители

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Раскроем скобки и приведем

подобные слагаемые

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Ответ: x=-2

В данном уроке мы продолжаем углубляться в тему «Уравнение с одной переменной». Напомним, что для того, чтобы решить абсолютно любое уравнение, необходимо найти все подходящие значения аргументов, которые делают уравнение верным равенством. Подходящее значение или значение неизвестных или корни уравнения – всё это синонимы, и необходимо их найти или же доказать, что корней в уравнении нет.

Правда теперь стоит поговорить о том, что такое «целое уравнение » и какое количество корней у него. Поэтому необходимо рассмотреть следующие два примера.

Квадрат разности «х» куб и «х» в пятой степени равняется «х» в шестой степени минус два, умноженное на разность «х» и одного.

Во втором уравнении «х» в четвёртой степени минус один, делённое на четыре, минус «х» в квадрате плюс один, делённое на два, равняется три «х» квадрат.

Если посмотреть внимательно, то обе части этих уравнений самостоятельно являются целыми выражениями. Это и есть целое уравнение. Теперь стоит дать чёткое определение целому уравнению с одной переменной (это такое уравнение, где обе части являются целыми выражениями ).

Что если мы упростим примеры? В первом уравнении для начала раскроем скобки, а после этого перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые. Все сделанные преобразования позволяют найти значение: «х» в пятой степени минус два «х» в кубе плюс два «х» минус один равняется нулю. Во втором уравнении повторяем проделанные операции по преобразованию. Однако изначально избавляемся от знаменателя, умножая уравнение на четыре. В итоге мы получаем, что «х» в четвёртой степени минус четырнадцать «х» в квадрате минус три равняется нулю. Мы сделали ряд трансформаций в первом и втором уравнениях, но они не изменили значения, а лишь привели к равносильным уравнениям.

Напомним, что равносильные уравнения также называют эквивалентными. Эквивалентность создаёт дополнительные свойства уравнения: симметрия (когда первое уравнение равносильно второму, то значит и второе равносильно первому) и транзитивность (если у нас есть три уравнения, где первое равносильно второму, а второе равносильно третьему, то это значит, что первое равносильно третьему в том числе). Удобность равносильности уравнений заключается в том, что над ними можно производить ряд упрощений, которые помогают сделать решение более простым.

В итоге мы видим уравнение следующего вида: «Р» от «х» равно нулю, где «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. Абсолютно любое целое уравнение заменятся с помощью равносильного, где одна часть выступает многочленом стандартного вида, а вторая – нулем. Уравнение может иметь формат записи, где «Р» от «х» выступают многочленом стандартного вида. В данном виде степенью уравнения выступает степень многочлена. Если же взять произвольное целое уравнение, то его степенью выступает степень равносильного уравнения, которое имеет вид «Р» от «х» равно нуль. Здесь «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. То есть мы получаем, что первое уравнение - уравнение пятой степени, а второе – уравнение четвёртой степени.

Если говорить об элементарном примере, где уравнение имеет одну переменную первой степени, то оно имеет следующий формат: сумма «ах» и «b» равняется нулю. Неизвестной переменной выступает «х», а «а» и «b» являются некоторыми числами. Более того, «а» не может равняться нулю, потому что является коэффициентом при переменной «х» и в ином случае переменная исчезает. Когда сделаем необходимые преобразования, то видим, чему равняется «х» (минус «b», поделённое на «а»). Это и выступает корнем уравнения или его значением (также говорят, что корень удовлетворяет данному уравнению). Может возникнуть вопрос: зачем вообще узнавать, сколько корней у уравнения? Ответ прост: так мы будем понимать, сколько решений оно имеет. Например, преимуществом уравнения первой степени в том, что оно имеет только одно решение (корень).

До того, как мы перейдём к более сложным примерам, необходимо вспомнить, какие операции можно осуществить по преобразованию уравнений. Среди них:

• Раскрытие скобок в любой части уравнения;
• Приведение подобных в любой части уравнения;
• Перенос любого члена в другую часть, предварительно изменив его знак на противоположный;
• Прибавление одинакового выражения к обеим частям уравнения;
• Вычитание одинакового выражения у обеих частей уравнений;
• Умножение и деление на число, не являющееся нулем, обеих частей уравнения. Однако данное свойство может добавить новые корни или избавить от них.

Проведя ряд таких преобразований, мы получаем равносильное уравнение.

Теперь рассмотрим уравнение второй степени. Его можно привести к виду суммы «ах» в квадрате, «bx» и «с», равное нулю. Здесь мы видим переменную «х», а также некоторые числа (в особенности «а» не может быть равно нулю, ведь тогда уравнение второй степени превратиться в уравнение первой степени). Для того чтобы понять, какое число корней имеет уравнение, необходимо найти значение дискриминанта «D», формулой которого является разница «b» в квадрате и четырёх «ас». Когда мы нашли дискриминант, мы понимает, что уравнение может иметь два решения (если дискриминант больше нуля), может иметь один корень (если равен нулю) и не иметь корней (если меньше нуля). Уравнение второй степени не может иметь больше двух корней. В тех случаях, когда есть два решения, доступна формула корня, где «х» равно минус «b» плюс корень из дискриминанта, поделённое на два «а».

Уравнение второй степени или же квадратное уравнение имеет корень, которое обращает трёхчлен в значение нуля или так называемое тождество. Если говорить о коэффициентах, которые используют в квадратном уравнении, то каждый имеет определённое название: «а» выступает старшим коэффициентом, «b» - коэффициент при «х» или второй коэффициент, а «с» - свободный член уравнения. Есть примеры, когда старший коэффициент равен единице, в таком случае квадратное уравнение называется приведённым. Уравнение второй степени может быть полным и неполным. Неполное квадратное уравнение – такое, в котором второй коэффициент или свободный член равен нулю. Что является графиком уравнения второй степени? Совершенно верно, это парабола, которая симметрична относительно оси ординат, и может иметь значение функции от нуля до плюс бесконечности или же от нуля до минус бесконечности. Вспомним по графику, какое количество пересечений парабола может иметь, ведь именно от этого зависит количество корней или решений. Когда пересечение происходит в одной точке, то есть при вершине, то получаем один корень или, как говорят, два совпадающих корня. Когда же парабола встречается с осью абсцисс дважды, то значит у нас два корня или два решений. По ряду принципов можно определить направленность параболы. Положительность основного коэффициента говорит о направлении ветвей вверх. Схожесть старшего и второго коэффициентов говорит о том, что график расположен в левой полуплоскости относительно оси ординат. Различие этих коэффициентов говорит о том, что фигура находится в правой части.

Если говорить об уравнениях более высокой степени, то их также можно привести к основному виду. Например, уравнение третей степени выглядит как сумма произведения «а» и «х» в кубе, «b» и «х» в квадрате, «сх» и d, всё равное нулю. Кубическое уравнение также имеет график функций, который на декартовой системе представлен в виде кубической параболы. Что по поводу уравнения четвёртой степени: сумма произведения «а» и «х» в четвёртой степени, «b» и «х» в кубе, «с» и «х» в квадрате, «dх» и «е». Уравнение четвёртой степени выступает наивысшим, потому что только до четвёртой степени возможно решение в радикалах или при различных значениях коэффициентов. Во всех случаях «а» не может равняться нулю по тому, что уравнение станет более низкой степени. Отметим, что уравнение с n-ой степенью не может иметь более n-ого количества корней . Можно вывести формулы корней для уравнений третей и четвёртой степени, однако они будут очень сложны, и запомнить их будет невозможно для учащегося. Если говорить об уравнениях пятой степени и выше, то там даже формулы корней не выведены. Как тогда можно решить уравнения третей степени и выше?

В данном случае необходимо использовать приёмы, которые помогут упростить решение. Первая подсказка – разложить многочлены на множители. Попробуем применить данный приём на практике, решая пример «х» куб минус восемь «х» квадрат минус «х» плюс восемь равно нулю. Когда сделаем необходимые преобразования (вынесем «х» квадрат за скобки, далее разность «х» и восемь вынести за скобки, напоследок разложим получившуюся формулу). В результате мы видим, что разность «х» и восемь равна нулю, разность «х» и один равна нулю и произведение «х» и один равна нулю. Так мы и доказали, что изначальное уравнение имеет три корня или три значения (восемь, один и минус один).

При решении уравнения выше второй степени, можно порой использовать приём введения новой переменны. Например, есть уравнение, где произведение «х» квадрат минус пять «х» плюс четыре и «х» квадрат минус пять «х» плюс шесть, оно равняется сто двадцати. В данном примере для того чтобы найти решение, необходимо всё перенести в левую часть и раскрыть скобки, сделав необходимые преобразования. Получаем «х» в четвёртой степени минус десять «х» в кубе плюс тридцать пять «х» в кубе минус пятьдесят «х» минус девяносто десть равно нулю. Даже если мы приведём подобные, то уравнение всё равно получится очень сложное, а решить его будет абсолютно невозможно. Поэтому посмотрим внимательнее на формулу и увидим, что разность «х» в квадрате и пять «х» повторяется в обеих скобках. Что если мы введём новую переменную «у» вместо данной части? Тогда мы получаем произведение суммы «у» и четыре и суммы «у» и шести, равное сто двадцати. Упростив, мы получаем квадратное уравнение с корнями минус шестнадцать и шесть. Теперь вместо «у» мы можем подставить разность «х» квадрат и пять «х». Уравнение «х» квадрат минус пять «х» равно минус шестнадцать не имеет корней, потому что дискриминант отрицательный. А второе квадратное уравнение имеет дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: минус один и шесть.

Метод введения новой переменной позволяет легко решить уравнения четвёртой степени, которые имеют следующий вид: произведение «а» и «х» в четвёртой степени плюс произведение «b» и «х» во второй степени плюс «с» равняется нулю. В данном случае «а» не может равняться нулю. Это пример биквадратного уравнения, потому что уравнение является квадратным относительно «х» в квадрате. Применим теорию на практике, решив уравнение девять «х» в четвёртой степени минус десять «х» во второй степени плюс один равно нулю. Вместо «х» квадрат введём новую переменную «у», тогда выйдет квадратное уравнение с «у», где дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: одна девятая и один. Теперь подставляем «х» в квадрате и получаем четыре значения корня «х»: минус одна третья, одна третья, минус один и один. Получается, что исходное биквадратное уравнение имеет четыре решения.

В результате урока нам удалось обобщить и создать систему по знаниям в теме “Уравнения”. Теперь учащиеся смогут логически решать сложные примеры, применяя новые приёмы, и анализирую процесс решения. Если осталось дополнительное время, то стоит провести небольшой опрос среди учащихся. Начните с того, чтобы вам дали определение, что такое уравнение с одной переменной. Далее попросите рассказать о процессе решения, и что такое корень, какое количество корней может иметь уравнение. Следующая важная часть знаний – равносильные или эквивалентные уравнения, поэтому необходимо, чтобы учащиеся разложили по полочкам характерные таким уравнениям свойства.

МОУ «Л-Конобеевская СШ»

Целое уравнение
и его корни.

Конспект урока алгебры в 9 классе с использованием компьютерной презентации и компьютерного тестирования.

Разработала учитель математики Закурдаева Наталья Сергеевна

Цели урока :

Образовательная: усвоить понятия «целое уравнение», «степень уравнения»; научиться решать биквадратные уравнения.

Воспитательная : воспитывать внимательность, наблюдательность, самостоятельность, умение выражать свои мысли.

Развивающая: развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы, анализировать.

Тип урока: объяснение нового материала

Ход урока:

Оргмомент.

II . Устные упражнения. (слайд №1)

1. Решите уравнение:

а) х 2 = 9; б) х 2 = 3; в) х 2 + 4 = 0;

2. Каков знак дискриминанта квадратного уравнения, если оно:

а) имеет один корень,

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

3. Какова степень многочлена:

а) х 2 - Зх 5 + 2 ;

б) 4х – 8 – 2х(3х + 6) - 21;

4. Представьте х 4 в виде квадрата

5. Чему равен х 4 , если х 2 = a

6. Если сегодня в 12.00 пойдёт дождь, можете ли вы утверждать, что через 72 часа будут светить солнце?

7. Вспомните, какие выражения называют целыми?

8. Что называют корнем уравнения?

9. Что значит решить уравнение?

III . Объяснение нового материала.
- Сегодня мы с вами узнаем, какие уравнения называются целыми, как определить степень уравнения, а также познакомимся с новым видом уравнений – биквадратными уравнениями.

Итак, запишем тему урока: «Целое уравнение и его корни». (слайд №2 )

Посмотрите внимательно на эти два уравнения. Из каких выражений они состоят?

(Из целых )

Такие уравнения называются целыми

Опр. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Что мы можем сделать с этими уравнениями?

(раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – упростить )

Т.е. можем привести их к виду P (x )=0, где P (x

У любого многочлена стандартного вида вы умеете определять степень. Степень можно определить и у уравнения.

Итак, (слайд № 3 )

Опр. Если уравнение с одной переменной записано в виде P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.

Рассмотрим пример

Пример: определим степень уравнения

Выполним необходимые преобразования (слайд №3 )

Степень данного уравнения равна 7

Выполнив необходимые преобразования в заданном уравнении можно (слайд №4 )

Уравнение первой степени можно привести к виду

Уравнение второй степени можно привести к виду

Уравнение третьей степени можно привести к виду

Уравнение четвёртой степени можно привести к виду

и т. д.

Уравнение первой степени по-другому называется… (линейным )

Уравнение второй степени … (квадратным ). От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от дискриминанта )

Учёными доказано, что целое уравнение 2-й степени имеет не более 2-х корней, уравнение 3-й степени имеет не более 3-х корней, уравнение n -ой степени имеет не более n корней.

Для уравнений 3-й и 4-й степени известны формулы нахождения корней, в школьном курсе они не изучаются, но желающие могут с ними познакомиться дополнительно и подготовить небольшое сообщение.

Сделаем небольшой экскурс в историю. (слайд №5, №6 )

Норвежский математик Нильс Абель впервые доказал, что для уравнений пятой степени и более высоких степеней нет общих формул нахождения корней.

Французский математик Эварист Галуа нашёл необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

На следующем уроке мы послушаем более подробно сообщение об этих учёных, Серёжа и Света подготовят доклады.

А пока мы вернёмся к уравнениям.

Рассмотрим уравнение вида (слайд №7 )

,

На какое уравнение оно похоже? (на квадратное )

Верно, оно является квадратным относительно х 2 . Такие уравнения называют биквадратными . (слайд №7 )

Опр. Уравнение вида , ,

являющееся квадратным относительно х 2 , называют биквадратным.

- Такие уравнения легко решить методом введения новой переменной.

Пример: Решим уравнение(слайд №7)

Введём новую переменную, х 2 = t , Чему равно х 4 ? (t 2 )

Получим квадратное уравнение

Самостоятельная работа

А сейчас вам предстоит выполнить небольшой тест. Садитесь на свои места за компьютером. Приступайте.

(Обучающий тест из трёх заданий.)

Рефлексия

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Какое уравнение называется целым?

Как определить степень уравнения?

Какие уравнения называются биквадратными? Каким способом они решаются?

Домашнее задание.

Стр. 72 – 75 (теоретический материал)

Стр. 76 – 77 № 266 (в, г), 278 (г, д, е)

Стр.78. № 286, 287 (задания на повторение)

Прочитайте домашнее задание. Какие у вас возникли вопросы? (пояснение домашнего задания)

Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»Эпигаф:
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.
(поэт Р.Сеф).

Математический диктант

1.Вставить недостающие
слова и указать соответствия
1.Что называется
уравнением?
1. Найти все его … или
доказать, что … нет.
2.Что называется
корнем уравнения?
2. ……, содержащее
переменную.
3.Что значит решить
уравнение?
3. ……., при котором
уравнение обращается
в верное числовое
равенство.

Решить уравнения устно:

а) x² = 0
б) 3x – 6 = 0
в) x² – 9 = 0
г) x(x – 1)(x + 2) = 0
д) x² = – 25

Решить уравнение:

х⁴-6х²+5=0

Целое уравнение и его корни

Цели урока:

обобщить и углубить сведения об
уравнениях
знакомство с понятием целое
уравнение
знакомство с понятием степень
уравнения
формирование навыков решения
уравнений

Уравнения

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x 2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2x 1
x 12
целые
уравнения
дробные
уравнения

Целое уравнение

Целым уравнением с одной
переменной называется уравнение,
левая и правая части которого
целые выражения.

10. Степень уравнения

Если уравнение с одной
переменной записано в виде P(x)=0,
где P(x) – многочлен стандартного
вида, то степень этого многочлена
называют степенью уравнения, т.е
наибольшая из степеней
одночленов.
Примеры: x⁵-2x³+2x-1=05-я
степень
4-я
x⁴-14x²-3=0
степень

11. Какова степень уравнения?

5
а) 2х²-6х⁵+1=0
2
г) (х+8)(х-7)=0
6
б) х⁶-4х²-3=0
1 5
х 0
7
в)
5х(х²+4)=17
д)
х х
5
2 4
5
1
3
е) 5х-

12. Повторим

линейное уравнение
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
множество
корней
нет корней
один корень
квадратное уравнение
D=0
один корень
D>0
два корня
D<0
нет корней

13. Уравнение первой степени

14. Уравнение третьей степени

Решить уравнение
x3 8x 2 x 8 0
Решение: разложим левую часть
уравнения 2на множители
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2ответ
1, x3 1

15. Решить уравнение:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Решение:Раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ!
x+2=0
x=-2
Ответ: x=-2

16. Решим биквадратное уравнение:

Х⁴ - 5 х² - 36 = 0
Сделаем замену: х² = а, а≥ 0
а² - 5а -36 =0
D = 169
а1= -4 (не подходит, т.к. а≥0)
а2 = 9
Х² = 9
х1 = 3 и х2 = -3
Ответ: 3 и -3.

17. Решить уравнение:

х⁴-6х²+5=0
Ответ: 1, -1, Ѵ5, - Ѵ5

18. Установите соответствие: Уравнение способ.

Образец текста
Второй уровень
Третий уровень
Четвертый уровень
Пятый уровень

19. Тест

1) Определите степень уравнения
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
а) 2
б) 3
в) 1
2) Какие из чисел являются корнями
x(x 1)(x 2) 0?
уравнения
а) -1
б) 0
в) 2
3) Решите уравнение 9 x 3 27 x 2 0
а) 0;-3
б) -3;0;3
в) 0;3

20.

1)
Какое уравнение называется
целым и как его отличить от
дробного?
2)
Что такое степень уравнения?
3)
Что такое корни уравнения?
4)
5)
Сколько корней может иметь
уравнение 1 степени?
Сколько корней может иметь
уравнение 2 степени?

21. Домашнее задание:

Подумай и ответь на вопрос: «Сколько
корней может иметь целое уравнение с
одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой, пой степени?»