Инструкция

диагонали/em/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Прямоугольные ( , квадрат) диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно теоремы Пифагора. a²=b²+c², где a - гипотенуза, b и с - катеты. Пример 1: AC , если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см.Решение: вычислите AC в ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см.Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.

Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь. Т.к. все стороны , то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь - произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равен его удвоенной площади (a²=2S).Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину диагонали . Решение: вычислите длину диагонали а через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см.Ответ: длина диагонали квадрата – 5,7 см.

В некоторых случаях для вычисления диагонали необходимо делать дополнительные построения.Пример 3: равносторонний многоугольник со , равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длину диагонали AB.Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом ABD. А диагональ AB - гипотенуза в нем. Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см.Ответ: длина диагонали AB=10,4 см.

Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба.Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длину диагонали куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см.Ответ: длина диагонали куба – 8,7 см.

Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ.Пример 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Найдите диагональ с.Решение: подставьте значения в формулу. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). с² = 4+9-12*(-0,5)=13-(-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с = √19 = 4,35 см.Ответ: длина диагонали с = 4,35 см.

Куб представляет собой частный случай параллелепипеда, в котором каждая из граней образована правильным многоугольником - квадратом. Всего куб обладает шестью гранями. Вычислить площадь не представляет затруднений.

Инструкция

Теперь, зная площадь одной из грани квадрата, можно узнать площадь всей поверхности куба. Это можно осуществить, если модифицировать формулу, указанную выше:
S = 6*a²
Иначе говоря, зная, что таких квадратов (граней) у куба аж шесть штук, то площадь поверхности куба составляет одной из граней куба.

Для наглядности и удобства можно привести :
Допустим, дан куб, у которого длина ребра 6 см, требуется площадь поверхности данного куба. Первоначально потребуется найти площадь грани:
S = 6*6 = 36 см²
Таким образом, площадь грани, можно найти и всю поверхности куба:
S = 36*6 = 216 см²
Ответ: площадь поверхности куба с ребром, равным 6 см, составляет 216 см²

Обратите внимание

Куб является частным случаем не только параллелепипеда, но и призмы.
Параллелепипедом называется призма, у которого основанием является параллелограмм. Особенностью параллелепипеда является то, что 4 из 6 его граней - прямоугольники.

Призмой считается многогранник, в основании которого находятся равные многоугольники. Одной из главных особенностей призмы можно назвать то, что боковые грани ее является параллелограммами.

Помимо куба, существуют и иные виды многогранников: пирамиды, призмы, параллелепипеды и т.д., каждому из них соответствуют различные способы нахождения площадей их поверхностей.

Полезный совет

Если дан не куб, а иной правильный многогранник, то в любом случае, площадь его поверхности будет находиться аналогично. Это означает, что площадь поверхности правильного многогранника находится путем суммирования всех площадей его граней - правильных многоугольников.

Длина характеризует расстояние между начальной и конечной точками отрезка. Различают длину прямой, ломаной и замкнутой линий. Ее находят экспериментальным либо аналитическим способом.

Инструкция

Окружность представляет собой замкнутый отрезок, который является образующей круга. Если точно следовать определению, то окружностью называется геометрическое место плоскости, равноудаленных от ее центра. Все окружности имеют некоторый радиус, обозначаемый как r, а также диаметр, равный D=2r. Длина этой линии равна значению выражения:C=2πr=πD, где r - радиус окружности, D - диаметр окружности.

Если речь идет о прямой линии, то имеется в виду либо обычный отрезок, либо замкнутая фигура, такая как треугольник или прямоугольник. Для последнего длина является основной характеристикой. Простой отрезок можно экспериментально, а длину стороны у фигуры удобнее всего вычислить. Наиболее осуществить эту операцию в отношении прямоугольника.

Частным случаем прямоугольника является равносторонний, называемый квадратом. В некоторых задач приведено только площади, а найти необходимо сторону. Поскольку стороны квадрата равны, то она вычисляется по следующей формуле:a = √S.Если прямоугольник не равносторонний, то, зная его площадь и одну из сторон, найдите длину перпендикулярной стороны следующим образом:a=S/b, где S - площадь прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Длина стороны треугольника находится несколько иным способом. Для определения этой величины необходимо знать не только длины остальных сторон, но и значения углов. Если дан прямоугольный треугольник с углом 60° и стороной с, которая является его гипотенузой, длину катета найдите по следующей формуле:a=c*cosα.Кроме того, если в задаче дана площадь треугольника и высота, длину основания можно найти по другой формуле:a=2√S/√√3.

Длину сторон любой фигуры проще всего найти, если она равносторонняя. Например, если вокруг описана окружность, длину стороны этого треугольника вычислите следующим образом:a3=R√3.Для произвольного правильного n- сторону найдите следующим образом:an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Видео по теме

Прямоугольник - одна из простейших геометрических фигур, которая, имея все углы одинаковыми и равными 90°, является частным случаем параллелограмма. Отрезок, соединяющий две вершины прямоугольника, не имеющие общей стороны, называется диагональю этого многоугольника. Вычислить длину можно несколькими способами в зависимости от известных исходных данных.

Инструкция

Если известны длины обеих сторон (A и B) прямоугольника, то длину диагонали (C) можно определить как корень из суммы квадратов . Это вытекает из теоремы Пифагора, так как диагональ в этой геометрической фигуре образует прямоугольный треугольник, двумя другими сторонами которого являются стороны прямоугольника. Диагональ в этом треугольнике является гипотенузой, а стороны прямоугольника - катетами. То есть: C=√(A²+B²).

Если длина одной из сторон неизвестна, но известна длина другой (A) и площадь (S) прямоугольника, то длину диагонали тоже можно вычислить. Так как площадь прямоугольника находится умножением длин его сторон, то неизвестную сторону можно выразить как частное от деления площади на длину другой стороны. Подставьте это в полученную на первом шаге формулу: C=√(A²+S²/A²)=√(A⁴+S²)/A.

Если известна длина одной из (A), а также длина его периметра (P), то длину второй стороны тоже можно определить. Так как в - это удвоенная сумма двух сторон, то каждую сторону можно определить как разность между полупериметром и длиной другой стороны. Подставьте это выражение во все ту же формулу из первого шага: C=√(A²+(P/2-A)²=√(A²+P²/4-P×A+A²)=√(2×A²+P²/4-P×A).

Если известен радиус окружности (R), в которую вписан прямоугольник, то диагональ его будет равна удвоенному радиусу, так как центр прямоугольника и круга в этом случае совпадают. Прямая, соединяющая две точки круга и проходящая через его центр равна его диаметру, то есть двум радиусам. А так как вершины этого прямоугольника лежат , а соединяющая их диагональ проходит через центр, то она тоже определению диаметра круга: C=2×R.

Если известен радиус вписанной окружности (r), то длины его сторон одинаковы. Этот частный случай прямоугольника квадратом. Определить длину сторон в этом случае можно как удвоенную длину радиуса окружности, а подставив это выражение в формулу из первого шага, вы получите: C=√(4×r²+4×r²)=r×√8.

Источники:

• площадь прямоугольника через диагональ

Параллелограмм - это выпуклая четырехугольная геометрическая фигура, в которой пары противоположных сторон имеют одинаковую длину. Также и пары углов в противоположных вершинах имеют одинаковые величины. Каждый отрезок, соединяющий две противоположные стороны и перпендикулярный каждой из них, можно назвать высотой этого четырехугольника. Знание длин сторон, величин углов и высот в разных сочетаниях этих параметров позволяет рассчитать площадь параллелограмма.

Инструкция

Наиболее часто для того, чтобы вычислить длину гипотенузы , задачу сводят к теоремы Пифагора, которая звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, ее длина находится вычислением квадратного корня из этой .

Если известен только один катет и величина одного из двух углов, не являющихся прямыми, то можно воспользоваться тригонометрическими формулами. Предположим, дан ABC, в котором AC=c – гипотенуза, AB=a и BC=b – катеты, α – угол между a и c, β – угол между b и c. Тогда:c = a/cosα = a/sinβ = b/cosβ = b/sinα.

Решите задачу: найти длину гипотенузы , если известно, что AB=3 и угол BAC при этой стороне равен 30°.РешениеИспользуйте тригонометрическую формулу:AC = AB/cos30° = 3 2/√3 = 2 √3.

Квадрат – самая простая фигура в геометрии. Именно с нее, прямоугольника и квадрата начинают изучать данный предмет. Умение решать задачи с квадратом помогут вам освоить более сложный материал. Данная статья расскажет о том, как найти диагональ квадрата.

Решение геометрических задач интересно тем, что решить их можно несколькими способами. Каждый способ по-своему интересен. Не исключение и диагональ квадрата, которую можно найти прямым и косвенным путями.

Как найти диагональ квадрата – формула

Существует довольно простая формула для нахождения диагонали квадрата. Она выглядит следующим образом: a√2. a – сторона квадрата. Вспомним, что все стороны квадрата равны. Таким образом, если вы знаете величину одной стороны, вы знаете и величину остальных трех сторон. Чтобы узнать диагональ квадрата необходимо ее сторону умножить на корень из двух.

Пример 1: Найти диагональ квадрата, если известно, что его сторона равна 5.

Решение: Подставив значение в вышеупомянутую формулу, нетрудно догадаться, что диагональ будет равна 5√2.

Пример 2: Найти сторону квадрата, если известно, что его диагональ составляет 5√2.

Решение: Диагональ обозначается маленькой латинской буквой d. d = a√2. Следовательно, чтобы найти сторону зная диагональ необходимо значение диагонали разделить на корень из двух. Проделав это действие, мы узнаем сторону квадрата, которая, в данном случае, равна 5.

Как найти диагональ квадрата через прямоугольный треугольник

Если в квадрате провести диагональ, несложно заметить, что образуются два прямоугольных треугольника. Вспомним, что у прямоугольного треугольника один угол обязательно прямой. Состоит он из двух катетов (стороны при угле в 90 градусов) и гипотенузы (противоположной 90 -градусному углу стороны). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенуза и есть диагональ нашего квадрата. Так как катеты – это стороны квадрата, формула будет иметь следующий вид: d² = a² + a² = 2a². Отсюда следует, что d = √2a² = a√2.

Пример 3: Найти диагональ квадрата, если его сторона равна 3.

Решение:

1. Складываем квадраты сторон, получаем 18.
2. Считаем корень из 18 и получаем 3√2.

Несмотря на то, что последний способ более длинный и в конечном итоге мы выходи на формулу из первого примера, знать его необходимо. По сути, этот способ является доказательством формулу диагонали квадрата. Именно это доказательство может прийти на экзамене или олимпиаде. Хорошо выучите ее, ведь она может помочь вам на вышеупомянутых мероприятиях.

Онлайн-калькулятор

Несмотря на то, что решать такие задачи не составляет большого труда, некоторые ученики могут забыть формулу. Для таких случаев существует онлайн калькулятор, который позволяет найти правильный ответ исходя из того, что дано в задаче. Чтобы воспользоваться данным сервисом перейдите по ссылке .

1. Прокрутите страницу вниз и вы найдете подзаголовок “найти диагональ квадрата, зная сторону.
2. Ниже этого подзаголовка будет приведена формула, посмотрев на которую вам и не понадобится калькулятор.
3. Но все-таки, если вы не уверены, впишите в поле значение длины квадрата, а затем на кнопку “вычислить”.
4. Калькулятор за 1 секунду выдаст вам правильный ответ.

Теперь, зная несколько способов для решения задачи на данную тематику, вы не будете листать книгу по математике в поисках нужной формулы, а просто воспользуетесь онлайн-калькулятором или примерами, которые приведены выше.

Инструкция

Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.

Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали 5 см.

Видео по теме

Обратите внимание

Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.

Источники:

• как найти длину диагонали в прямоугольнике

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти диагональ квадрата , если известна длина его стороны?

Инструкция

длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на из двух.

Видео по теме

Полезный совет

Если точность математического результата не очень важна, то вместо корня из двух можно использовать его приблизительное значение 1,41.

Совет 6: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.

Инструкция

Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.

Если о параллелограмме известно, что он прямоугольником с указанными в длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из возведенных в квадрат и прямоугольника: L=√(a²+b²).

Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы . Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Источники:

• как найти длину диагонали параллелограмма

Можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а единственная общая точка делит каждую из них на два равных отрезка. Эти свойства позволяют легко рассчитать длину одной из диагоналей, если известна длина другой и еще какой-нибудь параметр фигуры - размер стороны, угол в одной из вершин, площадь и т.д.

Инструкция

Если кроме длины одной из (l) о рассматриваемом четырехугольнике известно, что он частным случаем ромба - квадратом, никаких расчетов производить не придется. В этом случае длины обеих диагоналей - просто приравняйте искомую величину (L) к известной: L=l.

Знание длины стороны ромба (a) в дополнение к длине одной из диагоналей (l) позволит длину другой (L) по теореме Пифагора. Это потому, что две половины пересекающихся диагоналей образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник. Половины диагоналей в нем являются катетами, а сторона - гипотенузой, поэтому равенство, вытекающее из теоремы Пифагора записать так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для использования в расчетах преобразуйте его к такому виду: L = √(4*a²-l²).

При известной величине одного из углов (α) ромба и длине одной из диагоналей (l) для нахождения величины другой (L) рассмотрите тот же прямоугольный треугольник. Тангенс половины известного угла в нем отношению длины противолежащего катета - половины диагонали l - к прилежащему - половине диагонали L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Поэтому для искомой величины используйте формулу L = l/tg(α/2).

Если в условиях задачи приведена длина периметра (P) ромба и размер его диагонали (l), формулу вычисления длины второй (L) можно свести к равенству, использованному во втором шаге. Для этого разделите периметр на четверку и замените этим выражением длину стороны в : L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

В исходных условиях кроме длины одной из диагоналей (l) может быть приведена и площадь (S) фигуры. Тогда для вычисления длины второй диагонали ромба (L) используйте очень простой алгоритм - удвойте площадь и разделите полученное значение на длину известной диагонали: L = 2*S/l.

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

1. Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
2. Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
4. Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

1. d = rad2*a;
2. d = rad2*radS;
3. d = rad2*P/4;
4. d = 2*R;
5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Определение.

Прямоугольник - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 - b 2

b = √d 2 - a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

b = d cos	β
	2

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны: